私の方でうまくいった解決策を見つけました。他の方の助けにもなれば幸いです。
まず、新しい管理者アカウントを作成しました。私のPCには何らかの形でTeams Classicがインストールされていたようで、新しいアカウントでそれが有効になりました。
新しいアカウントでTeamsを開くと、正常に動作しました。
次に、AppData/Local/Microsoft/Teamsフォルダの中身をすべて、元のアカウントの同じ場所にコピーしました。
元のアカウントにサインインし直し、AppData/Local/Microsoft/Teams/currentにあるTeams.exeを実行しました。
するとTeams Classicが起動し、「新しいバージョンに更新してください」という警告が表示されました。しかし、更新しようとするとエラーが出ました。
そこでMicrosoft Storeを開き、そこからTeamsをインストールしたところ、今度は正しくインストールされ、現在正常に動作しています。
**追記**
追加したユーザーアカウントを削除したところ、Teamsが常に更新を試みる状態に戻ってしまいました。どうやらPCに追加のユーザーアカウントを保持し続けないと、この解決策は維持できないようです。