専門家の方々の回答を補足させていただきます。
ご質問の「メーカー独自のドライバを含む回復パーティションを削除せずに拡張する」という課題に対するアプローチは、主に2つ考えられます。
方法1：サードパーティ製ツールでパーティションを直接拡張する（推奨度：中）
村田さんが提案されているように、AOMEI Partition AssistantやMiniTool Partition Wizardなどの専門ツールを利用するのが最も直感的です。 これらのツールは、既存のデータを消さずにパーティションの位置を移動したり、サイズを変更したりする機能を備えています。
- Cドライブを少し縮小して未割り当て領域を作成します。
- 作成した未割り当て領域を、回復パーティションと結合して拡張します。
注意点：パーティション操作には常にリスクが伴います。実行前には必ず重要なデータのバックアップを取ってください。
方法2：現在の回復パーティションを無効化し、WinREをOS管理下に移す（推奨度：高）
こちらはより安全で、Microsoftの仕組みに沿った方法です。メーカー製パーティションはそのままに、Windowsが使用する回復環境（WinRE）だけを無効化し、OS（Cドライブ）の管理下で再作成します。
手順の概要：
現状確認：管理者としてコマンドプロンプトを開き、reagentc /infoを実行して、現在のWindows REが有効（Enabled）であり、場所がメーカーの回復パーティションに設定されていることを確認します。
無効化：reagentc /disableを実行します。これにより、WinREの構成ファイル（Winre.wim）が一時的にC:\Windows\System32\Recoveryフォルダに退避されます。 メーカーの回復パーティション自体は変更されません。
Windows Updateの実行：この状態で、問題の更新プログラム（KB5034441）をインストールします。WinREが無効なため、エラーが発生しなくなるか、あるいは別の形で処理される可能性があります。
再有効化：アップデート後、reagentc /enableを実行します。これにより、Windowsは新しい回復環境を適切な場所（多くの場合、十分な領域があれば元の場所、なければCドライブの保護領域）に自動で構築します。
この方法であれば、メーカー独自のドライバが入ったパーティションを削除・変更することなく、Windows Updateの問題を回避できる可能性が高いです。