こんにちは。
お使いのPCに問題があるわけではなく、その現象はMessengerアプリ自体に発生している広範囲な不具合が原因のようです。Windows 10とWindows 11の両方で同様の報告が多数挙がっています。
Microsoft StoreのMessengerアプリのレビューをご確認いただくと、同じように「ログインできず無限ロードに陥る」というユーザーの報告が多数見受けられます。
開発元に問題を認識させ、修正を促すためにも、Microsoft Storeのアプリページにフィードバックを送信することをお勧めします。
残念ながら、根本的な修正が行われるまでは、一度アプリをアンインストールし、ブラウザでアクセスするWeb版のMessengerを利用するのが現時点で最も確実な回避策となります。