マツダ アヤノ詳細な状況の共有ありがとうございます。「同じネットワーク上ではWOLが成功する」という点は非常に重要な情報です。これは、ミニPC本体のBIOSやネットワークカードの設定は正しくできていることを示しています。問題は、外部ネットワークから自宅のルーターを経由してミニPCへ至る経路にある可能性が極めて高いです。
以下の点を確認・再設定してみてください。
リモートデスクトップ接続（エラー0x104）の解決:このエラーは、PC名で名前解決ができていない場合に発生します。まずは同じネットワーク内で、PC名「NC_Joe」の代わりにミニPCのローカルIPアドレス（例: 192.168.1.10）を直接指定して接続を試みてください。これで接続できれば、リモートデスクトップ自体の設定は問題ありません。ルーターのポートフォワーディング設定の再確認:外部からのWOLを成功させるための最重要項目です。プロトコル: UDP を選択します。（TCPではありません）ポート番号: 9 をWAN側（インターネット側）・LAN側（家庭内側）ともに設定します。転送先IPアドレス: ミニPCのローカルIPアドレスを指定します。このIPアドレスは後述の方法で固定する必要があります。ミニPCのローカルIPアドレスの固定:ルーターは接続された機器のIPアドレスを自動で変更することがあります。ポートフォワーディングの設定を有効にするため、ミニPCのIPアドレスを固定してください。ルーターのDHCP設定画面で、ミニPCのMACアドレスに対して特定のIPアドレス（例: 192.168.1.10）を常に割り当てる「DHCP予約」や「IPアドレス固定」といった設定を行うのが最も確実です。WOLマジックパケットの送信先:海外からWOLパケットを送信する場合、宛先はミニPCのローカルIPではなく、ご自宅のインターネット回線のグローバルIPアドレスになります。「what is my ip」などで検索すると現在のグローバルIPアドレスが確認できます。WOLツールにはこのグローバルIPアドレスを指定します。DDNSサービスの利用:ご自宅のグローバルIPアドレスは変動する可能性が高いため、DDNS（ダイナミックDNS）サービスを利用することを強く推奨します。これを設定すれば、変動するIPアドレスの代わりに、your-chosen-name.ddns.netのような固定のホスト名を使って、常に自宅のルーターにアクセスできるようになります。
まずはローカルIPを固定し、ルーターのポートフォワーディング設定を再確認することから始めてみてください。これが外部からのアクセスの基本となります。